Penaksiran (estimation) adalah proses untuk memperkirakan nilai dari suatu parameter populasi dari sampel yang diambil. Dalam penaksiran, kita melakukan inferensi untuk menduga nilai parameter populasi yang terlibat sehingga sangat memungkinkan terjadinya galat (error). Meskipun begitu, peran statistika menjadi begitu krusial karena kita berusaha untuk meminimalisasi terjadinya galat tersebut agar bernilai sekecil-kecilnya. Lebih lanjut, parameter populasi yang dimaksud umumnya berupa rata-rata (mean), proporsi (proportion), dan varians (variance).
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Rata-Rata Satu Populasi
Pada artikel ini, kita akan memfokuskan bahasan pada penaksiran selisih rata-rata dua populasi bebas.
Misalkan terdapat dua populasi dengan rata-rata $\mu_1$ dan $\mu_2$ serta varians $\sigma_1^2$ dan $\sigma_2^2.$ Taksiran titik dari selisih $\mu_1$ dan $\mu_2$ diberikan oleh statistik $\overline{X}_1-\overline{X}_2.$ Oleh karena itu, untuk mendapatkan taksiran titik dari $\mu_1-\mu_2,$ kita harus memilih dua sampel acak bebas berukuran $n_1$ dan $n_2,$ masing-masing dari populasi yang berbeda. Ini menyebabkan kita harus memperhatikan distribusi penyampelan dari $\overline{X}_1-\overline{X}_2.$
Varians Kedua Populasi Diketahui
Berdasarkan teorema limit pusat, kita dapat menduga bahwa distribusi penyampelan (sampling distribution) dari $\overline{X}_1-\overline{X}_2$ cenderung normal dengan rata-rata $\mu_{\overline{X}_1-\overline{X}_2} = \mu_1-\mu_2$ dan simpangan baku $\sigma_{\overline{X}_1-\overline{X}_2} = \sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}.$ Misalkan $z_{\alpha/2}$ merupakan nilai-$z$ yang berasosiasi dengan luas sebesar $\alpha/2$ di bawah kurva normal. Dengan demikian, variabel acak yang berdistribusi normal baku
$$Z = \dfrac{(\overline{X}_1-\overline{X}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}}$$akan jatuh di antara $-z_{\alpha/2}$ dan $z_{\alpha/2}$ dengan peluang $1-\alpha.$ Lebih lanjut, $1-\alpha$ disebut sebagai derajat kepercayaan (degree of confidence), atau kadang juga dikenal sebagai koefisien kepercayaan (confidence coefficient). Lebih lanjut, dapat ditulis
$$p(-z_{\alpha/2} < Z < z_{\alpha/2}) = 1-\alpha.$$Dengan demikian,
$$p\left(-z_{\alpha/2} < \dfrac{(\overline{X}_1-\overline{X}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}} < z_{\alpha/2}\right) = 1-\alpha$$yang mengantarkan kita pada cara untuk melakukan penaksiran rata-rata selisih rata-rata dua populasi jika varians populasi diketahui sebagai berikut.
Selang Kepercayaan untuk $\mu_1-\mu_2,$ $\sigma_1^2$ dan $\sigma_2^2$ Diketahui
$$(\overline{x}_1-\overline{x}_2)-z_{\alpha/2} \sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}} < \mu_1-\mu_2<(\overline{x}_1-\overline{x}_2)+z_{\alpha/2} \sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}$$dengan $z_{\alpha/2}$ merupakan nilai-$z$ sehingga luas di bawah kurva normal di sebelah kanannya sebesar $\alpha/2.$
Varians Kedua Populasi Tidak Diketahui, tetapi Dianggap Sama
Pada kenyataannya, varians populasi jarang diketahui atau sulit ditentukan nilainya karena berbagai kendala. Situasi penaksiran yang kita hadapi dalam kehidupan nyata lebih banyak mengarah pada kasus ketika varians populasi tidak diketahui. Tidak diketahuinya varians populasi memberikan dua asumsi baru: varians populasinya dianggap sama atau berbeda.
Jika $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2,$ kita akan peroleh variabel acak berdistribusi normal baku dalam bentuk
$$Z = \dfrac{(\overline{X}_1-\overline{X}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{\sigma^2\left(\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}\right)}.$$Lebih lanjut, terdapat teorema yang menyatakan bahwa dua variabel acak
$$\dfrac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma^2}~\text{dan}~\dfrac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma^2}$$berturut-turut berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan $n_1-1$ dan $n_2-1.$ Lebih lanjut, dua variabel acak tersebut bebas karena diambil dari sampel acak yang juga bebas. Akibatnya, hasil penjumlahannya akan berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan $n_1+n_2-2,$ yaitu
$$V = \dfrac{(n_1-1)s_1^2}{\sigma^2} + \dfrac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma^2} = \dfrac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{\sigma^2}.$$Karena $Z$ dan $V$ keduanya dapat ditunjukkan bebas, teorema lain menyatakan bahwa statistik
$$\begin{aligned}T & = \dfrac{(\overline{X}_1-\overline{X}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\sigma^2\left(\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}\right)}} \div \sqrt{\dfrac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{\sigma^2(n_1+n_2-2)}} \end{aligned}$$berdistribusi-$t$ dengan derajat kebebasan $n_1+n_2-2.$ Dengan menggunakan notasi $S_p^2,$ dapat ditulis
$$S_p^2 = \dfrac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}.$$Jadi, statistik $T$ yang kita punya dapat ditulis ulang menjadi
$$T = \dfrac{(\overline{X}_1-\overline{X}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{S_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}}}.$$Lebih lanjut,
$$p(-t_{\alpha/2} < T < t_{\alpha/2}) = 1-\alpha$$dengan $t_{\alpha/2}$ adalah nilai-$t$ dengan derajat kebebasan $n_1+n_2-2$ yang berasosiasi dengan luas sebesar $\alpha/2$ di bawah kurva distribusi-$t.$ Substitusi nilai $T$ akan menghasilkan
$$p\left(-t_{\alpha/2} < \dfrac{(\overline{X}_1-\overline{X}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{S_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}}} < t_{\alpha/2}\right)= 1-\alpha.$$Sedikit manipulasi aljabar akan mengantarkan kita pada
$$p\left((\overline{X}_1-\overline{X}_2)-t_{\alpha/2} \cdot S_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}} < \mu_1-\mu_2 < (\overline{X}_1-\overline{X}_2)+t_{\alpha/2} \cdot S_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}} \right) = 1-\alpha.$$Dari sini, kita peroleh cara untuk melakukan penaksiran selisih rata-rata dua populasi jika varians kedua populasi tidak diketahui, tetapi dianggap sama.
Selang Kepercayaan untuk $\mu_1-\mu_2,$ $\sigma_1^2$ dan $\sigma_2^2$ Tidak Diketahui, tetapi $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$
$$(\overline{x}_1-\overline{x}_2)-t_{\alpha/2} \cdot s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}} < \mu_1-\mu_2 < (\overline{x}_1-\overline{x}_2)+t_{\alpha/2} \cdot x_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}}$$dengan $$s_p = \dfrac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$$ dan $t_{\alpha/2}$ adalah nilai-$t$ dengan derajat kebebasan $n_1+n_2-2$ yang berasosiasi dengan luas sebesar $\alpha/2$ di bawah kurva distribusi-$t.$
Varians Tidak Diketahui dan Dianggap Berbeda
Jika $\sigma_1^2 \ne \sigma_2^2,$ kita akan sering menggunakan statistik
$$T’ = \dfrac{(\overline{X}_1-\overline{X}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\dfrac{S_1^2}{n_1} + \dfrac{S_2^2}{n_2}}},$$yang kurang lebih berdistribusi-$t$ dengan derajat kebebasan tergabung (pooled degree of freedom) sebagai berikut.
$$\text{dk} = \dfrac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{1}{n_1-1}\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}\right)^2 + \dfrac{1}{n_2-1}\left(\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}.$$Penentuan derajat kebebasan dengan rumus di atas disebut sebagai aproksimasi Welch-Satterthwaite (Welch-Satterthwaite approximation). Dalam kebanyakan kasus, $\text{dk}$ yang dicari dengan rumus di atas tidak bulat. Jika demikian, selalu lakukan pembulatan ke bawah untuk mendapatkan bilangan bulat. Sebagai contoh, jika $\text{dk} = 1,\!68,$ bulatkanlah ke bawah sehingga diperoleh $\text{dk} = 1.$
Dengan menggunakan statistik $T’,$ dapat ditulis
$$p(-t_{\alpha/2} < T’ < t_{\alpha/2}) = 1-\alpha$$dengan $t_{\alpha/2}$ adalah nilai-$t$ dengan derajat kebebasan $n_1+n_2-2$ yang berasosiasi dengan luas sebesar $\alpha/2$ di bawah kurva distribusi-$t.$ Substitusi nilai $T$ akan menghasilkan
$$p\left(-t_{\alpha/2} < \dfrac{(\overline{X}_1-\overline{X}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\dfrac{S_1^2}{n_1} + \dfrac{S_2^2}{n_2}}} < t_{\alpha/2}\right) = 1-\alpha.$$Sedikit manipulasi aljabar akan mengantarkan kita pada
$$p\left((\overline{X}_1-\overline{X}_2)-t_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\dfrac{S_1^2}{n_1} + \dfrac{S_2^2}{n_2}} < \mu_1-\mu_2 < (\overline{X}_1-\overline{X}_2) + t_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\dfrac{S_1^2}{n_1} + \dfrac{S_2^2}{n_2}}\right) = 1-\alpha.$$Dari sini, kita peroleh cara untuk melakukan penaksiran selisih rata-rata dua populasi jika varians kedua populasi tidak diketahui dan dianggap berbeda.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Selisih Rata-Rata Dua Populasi Bebas
Selang Kepercayaan untuk $\mu_1-\mu_2,$ $\sigma_1^2$ dan $\sigma_2^2$ Tidak Diketahui dan $\sigma_1^2 \ne \sigma_2^2$
$$(\overline{x}_1-\overline{x}_2)-t_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}} < \mu_1-\mu_2 < (\overline{x}_1-\overline{x}_2) + t_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}$$dengan $t_{\alpha/2}$ adalah nilai-$t$ dengan derajat kebebasan
$$\text{dk} = \dfrac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{1}{n_1-1}\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}\right)^2 + \dfrac{1}{n_2-1}\left(\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}$$yang berasosiasi dengan luas sebesar $\alpha/2$ di bawah kurva distribusi-$t.$
Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber, termasuk sumber berbahasa Inggris. Salah satu sumber yang digunakan di antaranya adalah buku “Probability & Statistics for Engineers & Scientists” yang ditulis oleh Ronald E. Walpole dkk. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Indonesia} & \text{Bahasa Inggris} \\ \hline 1. & \text{Penaksiran} & \text{Estimation} \\ 2. & \text{Rata-Rata} & \text{Mean} \\ 3. & \text{Simpangan Baku} & \text{Standard Deviation} \\ 4. & \text{Galat Baku} & \text{Standard Error} \\ 5. & \text{Uji-}z & z\text{-Test} \\ 6. & \text{Uji-}t & t\text{-Test} \\ 7. & \text{Selang Kepercayaan} & \text{Confidence Interval} \\ 8. & \text{Taraf Signifikansi} & \text{Significance Value} \\ 9. & \text{Derajat Kebebasan} & \text{Degree of Freedom} \\ 10. & \text{Tergabung} & \text{Pooled} \\ 11. & \text{Aproksimasi Welch-Satterthwaite} & \text{Welch-Satterthwaite Approximation} \\ \hline \end{array}$$
Quote by Richard Feynmann
Catatan: Hasil perhitungan yang dilakukan dalam setiap soal bisa jadi sedikit berbeda karena masalah pembulatan. Anda seharusnya tidak dianggap salah jika terjadi kasus seperti itu. Lebih lanjut, silakan unduh tabel-$z$ dan tabel-$t$ untuk menjawab soal-soal penaksiran di bawah.
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Sampel acak pertama berukuran $25$ memiliki rata-rata $81,$ diambil dari suatu populasi normal dengan simpangan baku $5,\!2.$ Sampel acak kedua berukuran $36$ memiliki rata-rata $76,$ diambil dari suatu populasi normal dengan simpangan baku $3,\!4.$ Tentukan selang kepercayaan $90\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut berkorespondensi dengan sampel acak pertama dan kedua. Diketahui
$$\begin{array}{ccc} \hline \overline{x}_1 = 81 & \sigma_1 = 5,\!2 & n_1 = 25 \\ \overline{x}_2 = 76 & \sigma_2 = 3,\!4 & n_2 = 36. \\ \hline \end{array}$$Ini merupakan kasus penaksiran selisih rata-rata dua populasi yang variansnya diketahui. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$z.$
Diketahui $\alpha = 1-90\% = 10\% = 0,\!1.$ Dengan demikian, $z_{\alpha/2} = z_{0,05} \approx 1,\!645.$ Dari sini, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} (\overline{x}_1-\overline{x}_2)-z_{\alpha/2} \sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}} & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & (\overline{x}_1-\overline{x}_2)+z_{\alpha/2} \sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}} \\ (81-76)-1,\!645\sqrt{\dfrac{(5,\!2)^2}{25} + \dfrac{(3,\!4)^2}{36}} & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & (81-76)-1,\!645\sqrt{\dfrac{(5,\!2)^2}{25} + \dfrac{(3,\!4)^2}{36}} \\ 3,\!0517 & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & 6,\!9483. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut adalah $$3,\!0517< \mu_{X_1}-\mu_{X_2} < 6,\!9483.$$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Selisih Rata-Rata Dua Populasi Berpasangan
Soal Nomor 2
Suatu penelitian dilakukan untuk membandingkan partisipasi politik di dua provinsi, yaitu Provinsi A dan Provinsi B. Untuk keperluan penelitian tersebut, diambil sampel sebanyak $15$ kabupaten/kota dari masing-masing provinsi tersebut. Untuk Provinsi A, diperoleh rata-rata partisipasi politik sebesar $86\%.$ Untuk Provinsi B, diperoleh rata-rata partisipasi politik sebesar $77\%.$ Lebih lanjut, simpangan baku populasi dari persentase partisipasi politik di Provinsi A dan Provinsi B berturut-turut adalah $6\%$ dan $5\%.$ Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal. Tentukan selang kepercayaan $95\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan persentase partisipasi politik di Provinsi A dan B. Diketahui
$$\begin{array}{ccc} \hline \overline{x}_1 = 86 & \sigma_1 = 6 & n_1 = 15 \\ \overline{x}_2 = 77 & \sigma_2 = 5 & n_2 = 15. \\ \hline \end{array}$$Ini merupakan kasus penaksiran selisih rata-rata dua populasi yang variansnya diketahui. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$z.$
Diketahui $\alpha = 1-95\% = 5\% = 0,\!05.$ Dengan demikian, $z_{\alpha/2} = z_{0,025} \approx 1,\!96.$ Dari sini, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} (\overline{x}_1-\overline{x}_2)-z_{\alpha/2} \sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}} & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & (\overline{x}_1-\overline{x}_2)+z_{\alpha/2} \sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}} \\ (86-77)-1,\!96\sqrt{\dfrac{6^2}{15} + \dfrac{5^2}{15}} & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & (86-77)-1,\!96\sqrt{\dfrac{6^2}{15} + \dfrac{5^2}{15}} \\ 5,\!0475 & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & 12,\!9525. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut (dalam persen) adalah $$5,\!0475< \mu_{X_1}-\mu_{X_2} < 12,\!9525.$$
Soal Nomor 3
Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan karena gosokan dari dua bahan yang dilapisi. Dua belas potong bahan $1$ diuji dengan memasukkan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan $2$ diuji dengan cara yang sama. Dalam tiap observasi, ukuran keausan dicatat. Sampel bahan $1$ memberikan rata-rata keausan (sesudah disandi) sebesar $85$ satuan dengan simpangan baku sampel $4,$ sedangkan sampel bahan $2$ memberikan rata-rata keausan sebesar $81$ satuan dengan simpangan baku sampel $5.$ Tentukan selang kepercayaan $95\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut. Anggaplah kedua populasi berdistribusi normal dengan varians yang sama.
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan keausan dari bahan $1$ dan bahan $2.$ Diketahui $$\begin{array}{ccc} \hline \overline{x}_1 = 85 & s_1 = 4 & n_1 = 12 \\ \overline{x}_2 = 81 & s_2 = 5 & n_2 = 10. \\ \hline \end{array}$$Ini merupakan kasus penaksiran selisih rata-rata dua populasi yang variansnya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$t.$
Diketahui $\alpha = 1-95\% = 5\% = 0,\!05$ sehingga nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} = n_1+n_2-2 = 12+10-2 = 20$$ adalah $t_{0,025; ~20} \approx 2,\!086.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} s_p & = \sqrt{\dfrac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2-2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{(12-1)(4)^2 + (10-1)(5)^2}{12+10-2}} \\ & \approx 4,\!478. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} (\overline{x}_1-\overline{x}_2)-t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}} & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & (\overline{x}_1-\overline{x}_2) + t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}} \\ (85-81)-2,\!086 \cdot 4,\!478\sqrt{\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{10}} \cdot & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & (85-81)+2,\!086 \cdot 4,\!478\sqrt{\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{10}} \\ 0,\!0000 & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & 8,\!000. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut adalah $$0,\!0000 < \mu_{X_1}-\mu_{X_2} < 8,\!000.$$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Rata-Rata Satu Populasi
Soal Nomor 4
Berikut ini merupakan data durasi film (dalam menit) yang diproduksi oleh dua rumah produksi (RP)
$$\begin{array}{c|ccccccc} \textbf{RP 1} & 102 & 86 & 98 & 109 & 92 & & \\ \hline \textbf{RP 2} & 81 & 165 & 97 & 134 & 92 & 87 & 114 \end{array}$$Anggap distribusi populasinya normal dengan varians berbeda. Tentukan selang kepercayaan $95\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan durasi film (dalam menit) yang diproduksi oleh RP $1$ dan RP $2.$ Diketahui dan dapat dicari informasi berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline \overline{x}_1 = 97,\!4 & s_1^2 = 78,\!8 & n_1 = 5 \\ \overline{x}_2 = 110 & s_2^2 \approx 913,\!33 & n_2 = 7. \\ \hline \end{array}$$Ini merupakan kasus penaksiran selisih rata-rata dua populasi yang variansnya tidak diketahui dan dianggap berbeda. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$t.$
Diketahui $\alpha = 1-95\% = 5\% = 0,\!05.$ Sebelum meninjau tabel-$t,$ derajat kebebasan perlu dihitung dulu dengan cara berikut.
$$\begin{aligned} \text{dk} & = \dfrac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{1}{n_1-1}\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}\right)^2 + \dfrac{1}{n_2-1}\left(\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2} \\ & = \dfrac{\left(\dfrac{78,\!8}{5} + \dfrac{913,\!33}{7}\right)^2}{\dfrac{1}{5-1}\left(\dfrac{78,\!8}{5}\right)^2 + \dfrac{1}{7-1}\left(\dfrac{913,\!33}{7}\right)^2} \\ & \approx 7,\!38 \approx 7. \end{aligned}$$Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = 7$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,\!025; 7} \approx 2,\!365.$ Dari sini, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} (\overline{x}_1-\overline{x}_2)-t_{\alpha/2;~\text{dk}}\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}} & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & (\overline{x}_1-\overline{x}_2)+t_{\alpha/2;~\text{dk}}\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}} \\ (97,\!4-110)-2,\!365\sqrt{\dfrac{78,\!8}{5} + \dfrac{913,\!33}{7}} \cdot & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & (97,\!4-110)+2,\!365\sqrt{\dfrac{78,\!8}{5} + \dfrac{913,\!33}{7}} \\ -41,\!1995 & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & 15,\!9995. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut adalah $$-41,\!1995< \mu_{X_1}-\mu_{X_2} < 15,\!9995.$$
Soal Nomor 5
Suatu penelitian dilakukan untuk melihat apakah peningkatan konsentrasi substrat akan memberikan pengaruh yang signifikan pada laju suatu reaksi kimia. Dengan konsentrasi substrat sebesar $1,\!5$ mol per liter, reaksi dicoba sebanyak $15$ kali dengan hasil rata-rata lajunya $7,\!5$ mikromol per $30$ menit dan simpangan bakunya $1,\!5$ mikromol per $30$ menit. Lebih lanjut, dengan konsentrasi substrat sebesar $2,\!0$ mol per liter, reaksi dicoba sebanyak $12$ kali dengan hasil rata-rata lajunya $8,\!8$ mikromol per $30$ menit dan simpangan bakunya $1,\!2$ mikromol per $30$ menit. Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal dengan varians yang sama. Tentukan selang kepercayaan $99\%$ dari selisih rata-rata dua populasi tersebut.
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan laju reaksi kimia tersebut (dalam satuan mikromol per $30$ menit) ketika menggunakan konsentrasi substrat sebesar $1,\!5$ dan $2,\!0$ mol per liter. Diketahui
$$\begin{array}{ccc} \hline \overline{x}_1 = 7,\!5 & s_1 = 1,\!5 & n_1 = 15 \\ \overline{x}_2 = 8,\!8 & s_2 = 1,\!2 & n_2 = 12. \\ \hline \end{array}$$Ini merupakan kasus penaksiran selisih rata-rata dua populasi yang variansnya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$t.$
Diketahui $\alpha = 1-99\% = 1\% = 0,\!01$ sehingga nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!005$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} = n_1+n_2-2 = 15+12-2 = 25$$ adalah $t_{0,005; ~25} \approx 2,\!787.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} s_p & = \sqrt{\dfrac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2-2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{(15-1)(1,\!5)^2 + (12-1)(1,\!2)^2}{15+12-2}} \\ & \approx 1,\!3761. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} (\overline{x}_1-\overline{x}_2)-t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}} & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & (\overline{x}_1-\overline{x}_2)+t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}} \\ (7,\!5-8,\!8)- 2,\!787 \cdot 1,\!3761\sqrt{\dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{12}} \cdot & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & (7,\!5-8,\!8)+ 2,\!787 \cdot 1,\!3761\sqrt{\dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{12}} \\ -2,\!7854 & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & 0,\!1854. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $99\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut (dalam mikromol per $30$ menit) adalah $$-2,\!7854 < \mu_{X_1}-\mu_{X_2} < 0,\!1854.$$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Varians Satu Populasi
Soal Nomor 6
Seorang peneliti melakukan pengujian model pembelajaran X dan model pembelajaran konvensional masing-masing pada satu kelas dengan jenjang yang sama sebagai sampel. Sebanyak $30$ siswa pada kelas pertama mengikuti proses pembelajaran dengan model pembelajaran X, sedangkan $35$ siswa pada kelas kedua mengikuti proses pembelajaran dengan model pembelajaran konvensional. Setelah tes akhir dilakukan, diperoleh rata-rata sampel berturut-turut adalah $25,\!6$ dan $28,\!3.$ Lebih lanjut, simpangan baku sampel berturut-turut adalah $4,\!2$ dan $3,\!8.$ Asumsikan populasinya berdistribusi normal dan variansnya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Tentukan selang kepercayaan $95\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan nilai tes akhir setelah dilakukan model pembelajaran X dan konvensional. Diketahui
$$\begin{array}{ccc} \hline \overline{x}_1 = 25,\!6 & s_1 = 4,\!2 & n_1 = 30 \\ \overline{x}_2 = 28,\!3 & s_2 = 3,\!8 & n_2 = 35. \\ \hline \end{array}$$Ini merupakan kasus penaksiran selisih rata-rata dua populasi yang variansnya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$t.$
Diketahui $\alpha = 1-95\% = 5\% = 0,\!05$ sehingga nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} = n_1+n_2-2 = 30+35-2 = 63$$ adalah $t_{0,025; ~63} \approx 2.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} s_p & = \sqrt{\dfrac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2-2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{(30-1)(4,\!2)^2 + (35-1)(3,\!8)^2}{30+35-2}} \\ & \approx 3,\!989. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} (\overline{x}_1-\overline{x}_2)-t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}} & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & (\overline{x}_1-\overline{x}_2) + t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}} \\ (25,\!6-28,\!3)-2 \cdot 3,\!989\sqrt{\dfrac{1}{30} + \dfrac{1}{35}} \cdot & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & (25,\!6-28,\!3)+2 \cdot 3,\!989\sqrt{\dfrac{1}{30} + \dfrac{1}{35}} \\ -4,\!6850 & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & -0,\!7150. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $99\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut adalah $$-4,\!6850 < \mu_{X_1}-\mu_{X_2} < -0,\!7150.$$
Soal Nomor 7
Data berikut merupakan data tinggi badan (dalam cm) $10$ siswa dan $10$ siswi pada jenjang yang sama di suatu sekolah yang didapat setelah melalui pengambilan secara acak.
$$\begin{array}{c|ccccccccc} \textbf{Siswa} & 120 & 122 & 120 & 138 & 130 & 128 & 132 & 125 & 127 & 130 \\ \hline \textbf{Siswi} & 115 & 120 & 118 & 130 & 135 & 126 & 127 & 126 & 125 & 129 \\ \end{array}$$Asumsikan populasi berdistribusi normal dan variansnya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Tentukan selang kepercayaan $95\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan tinggi badan siswa dan siswi pada jenjang tersebut di sekolah yang sama. Diketahui dan dapat dicari informasi berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline \overline{x}_1 = 127,\!2 & s_1 \approx 5,\!6921 & n_1 = 10 \\ \overline{x}_2 = 125,\!1 & s_2 \approx 5,\!9712 & n_2 = 10. \\ \hline \end{array}$$Ini merupakan kasus penaksiran selisih rata-rata dua populasi yang variansnya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$t.$
Diketahui $\alpha = 1-95\% = 5\% = 0,\!05$ sehingga nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} = n_1+n_2-2 = 10+10-2 = 18$$ adalah $t_{0,025; ~18} \approx 2,\!101.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} s_p & = \sqrt{\dfrac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2-2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{(10-1)(5,\!6921)^2 + (10-1)(5,\!9712)^2}{10+10-2}} \\ & \approx 5,\!8333. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} (\overline{x}_1-\overline{x}_2)-t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}} & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & (\overline{x}_1-\overline{x}_2) + t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}} \\ (127,\!2-125,\!1)-2,\!101 \cdot 5,\!8333\sqrt{\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10}} \cdot & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & (127,\!2-125,\!1)+2,\!101 \cdot 5,\!8333\sqrt{\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10}} \\ -3,\!3807 & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & 7,\!5807. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut adalah $$-3,\!3807 < \mu_{X_1}-\mu_{X_2} < 7,\!5807.$$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Varians Satu Populasi
Soal Nomor 8
Suatu penelitian dilakukan untuk menguji apakah nilai mata kuliah Statistika Sosial yang diberikan kepada mahasiswa dari program studi Ilmu Komunikasi dan Sosiologi di suatu universitas memiliki perbedaan atau tidak. Untuk itu, diambil sampel sebanyak $10$ nilai, masing-masing dari mahasiswa program studi Ilmu Komunikasi dan Sosiologi, yaitu sebagai berikut.
$$\begin{array}{c|ccccccccc} \textbf{Ilmu Komunikasi} & 63 & 78 & 71 & 82 & 93 & 72 & 61 & 63 & 56 & 82 \\ \hline \textbf{Sosiologi} & 69 & 56 & 67 & 72 & 59 & 71 & 55 & 88 & 79 & 49 \\ \end{array}$$Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal dan variansnya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Tentukan selang kepercayaan $90\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan nilai mahasiswa program studi Ilmu Komunikasi dan Sosiologi di universitas tersebut. Diketahui dan dapat dicari informasi berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline \overline{x}_1 = 72,\!1 & s_1 \approx 11,\!628 & n_1 = 10 \\ \overline{x}_2 = 66,\!5 & s_2 \approx 11,\!928 & n_2 = 10. \\ \hline \end{array}$$Ini merupakan kasus penaksiran selisih rata-rata dua populasi yang variansnya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$t.$
Diketahui $\alpha = 1-90\% = 10\% = 0,\!1$ sehingga nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} = n_1+n_2-2 = 10+10-2 = 18$$ adalah $t_{0,05; ~18} \approx 1,\!734.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} s_p & = \sqrt{\dfrac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2-2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{(10-1)(11,\!628)^2 + (10-1)(11,\!928)^2}{10+10-2}} \\ & \approx 11,\!779. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} (\overline{x}_1-\overline{x}_2)-t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}} & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & (\overline{x}_1-\overline{x}_2) + t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}} \\ (72,\!1-66,\!5)-1,\!734 \cdot 11,\!779\sqrt{\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10}} \cdot & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & (72,\!1-66,\!5)+1,\!734 \cdot 11,\!779\sqrt{\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10}} \\ -3,\!5342 & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & 14,\!7342. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk selisih rata-rata dari dua populasi tersebut adalah $$-3,\!5342 < \mu_{X_1}-\mu_{X_2} < 14,\!7342.$$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Kesamaan Varians dari Dua Populasi
Soal Nomor 9
Seorang peneliti menduga bahwa siswa yang belajar di pagi hari dan siswa yang belajar di sore hari memiliki kemampuan yang berbeda pada mata pelajaran Matematika. Untuk itu, ia mengambil secara acak $12$ orang siswa yang belajar matematika di pagi hari dan $16$ orang siswa yang belajar matematika di sore hari. Setelah dilakukan proses pembelajaran selama waktu tertentu, diperoleh nilai tes akhir sebagai berikut.
$$\begin{array}{c|cccccccccccc} \textbf{Pagi} & 51 & 71 & 76 & 81 & 67 & 98 & 58 & 69 & 87 & 74 & 79 & 81 \\ \hline \textbf{Sore} & 68 & 72 & 77 & 79 & 68 & 80 & 54 & 63 & 89 & 74 & 66 & 86 & 77 & 73 & 74 & 87 \\ \end{array}$$Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal dan variansnya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Tentukan selang kepercayaan $80\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan nilai siswa yang belajar matematika di pagi dan sore hari. Diketahui dan dapat dicari informasi berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline \overline{x}_1 \approx 74,\!3333 & s_1 \approx 12,\!5722 & n_1 = 12 \\ \overline{x}_2 = 74,\!1875 & s_2 \approx 9,\!232 & n_2 = 16. \\ \hline \end{array}$$Ini merupakan kasus untuk selisih rata-rata dua populasi yang variansnya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$t.$
Diketahui $\alpha = 1-80\% = 20\% = 0,\!2$ sehingga nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!1$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} = n_1+n_2-2 = 12+16-2 = 26$$ adalah $t_{0,1; ~26} \approx 1,\!315.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} s_p & = \sqrt{\dfrac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2-2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{(12-1)(12,\!5722)^2 + (16-1)(9,\!232)^2}{12+16-2}} \\ & \approx 10,\!7723. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} (\overline{x}_1-\overline{x}_2)-t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}} & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & (\overline{x}_1-\overline{x}_2) + t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}} \\ (74,\!3333-74,\!1875)-1,\!315 \cdot 10,\!7723\sqrt{\dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{16}} \cdot & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & (74,\!3333-74,\!1875)+1,\!315 \cdot 10,\!7723\sqrt{\dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{16}}\\ -5,\!2638 & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & 5,\!5554. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $80\%$ untuk selisih rata-rata dari dua populasi tersebut adalah $$-5,\!2638 < \mu_{X_1}-\mu_{X_2} < 5,\!5554.$$
Soal Nomor 10
Seorang produsen sabun memproduksi dua jenis sabun, yaitu sabun A dan sabun B. Produsen tersebut ingin mengetahui apakah penjualan sabun A lebih besar daripada sabun B. Untuk itu, ia melakukan pengambilan sampel pada $8$ daerah penjualan dan mendapatkan data banyaknya sabun yang terjual sebagai berikut.
$$\begin{array}{c|cccccccc} \textbf{Sabun A} & 115 & 125 & 132 & 145 & 134 & 152 & 155 & 126 \\ \hline \textbf{Sabun B} & 124 & 126 & 122 & 144 & 133 & 145 & 160 & 112 \\ \end{array}$$Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal dan variansnya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Tentukan selang kepercayaan $90\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak diskret yang berturut-turut menyatakan banyaknya sabun A dan sabun B yang terjual. Diketahui dan dapat dicari informasi berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline \overline{x}_1 = 135,\!5 & s_1 \approx 14,\!0306 & n_1 = 8 \\ \overline{x}_2 = 133,\!25 & s_2 \approx 15,\!5173 & n_2 = 8. \\ \hline \end{array}$$Ini merupakan kasus penaksiran selisih rata-rata dua populasi yang variansnya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$t.$
Diketahui $\alpha = 1-90\% = 10\% = 0,\!1$ sehingga nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} = n_1+n_2-2 = 8+8-2 = 14$$ adalah $t_{0,05; ~14} \approx 1,\!761.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} s_p & = \sqrt{\dfrac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2-2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{(8-1)(14,\!0306)^2 + (8-1)(15,\!5173)^2}{8+8-2}} \\ & \approx 14,\!7926. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} (\overline{x}_1-\overline{x}_2)-t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}} & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & (\overline{x}_1-\overline{x}_2) + t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}} \\ (135,\!5-133,\!25)-1,\!761 \cdot 14,\!7926\sqrt{\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8}} \cdot & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & (135,\!5-133,\!25)-1,\!761 \cdot 14,\!7926\sqrt{\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8}} \\ -10,\!7749 & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & 15,\!2749. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk selisih rata-rata dari dua populasi tersebut adalah $$-10,\!7749 < \mu_{X_1}-\mu_{X_2} < 15,\!2749.$$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Selisih Rata-Rata Dua Populasi Berpasangan
Soal Nomor 11
Seorang kriminolog mencatat masa penahanan dari $10$ orang narapidana karena kasus penipuan dan $8$ orang narapidana karena senjata api sampai mereka bebas dari penjara sebagai berikut.
$$\begin{array}{c|cccccccccc} \textbf{Penipuan} & 3,\!6 & 5,\!3 & 10,\!7 & 8,\!5 & 11,\!8 & 15,\!5 & 13 & 7 & 5,\!9 & 7 \\ \hline \textbf{Senjata Api} & 25,\!5 & 10,\!4 & 18,\!4 & 19,\!6 & 20,\!9 & 10,\!3 & 18,\!2 & 18,\!1 \end{array}$$Asumsikan bahwa data berasal dari distribusi normal dan varians kedua populasi berbeda. Tentukan selang kepercayaan $90\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan lamanya masa penahanan (dalam bulan) seorang narapidana karena kasus penipuan dan kasus senjata api. Diketahui dan dapat dicari informasi berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline \overline{x}_1 = 8,\!83 & s_1^2 \approx 3,\!7918 & n_1 = 10 \\ \overline{x}_2 = 17,\!675 & s_2^2 \approx 5,\!1219 & n_2 = 8. \\ \hline \end{array}$$Ini merupakan kasus penaksiran selisih rata-rata dua populasi yang variansnya tidak diketahui dan dianggap berbeda. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$t.$
Diketahui $\alpha = 1-95\% = 5\% = 0,\!05.$ Sebelum meninjau tabel-$t,$ derajat kebebasan perlu dihitung dulu dengan cara berikut.
$$\begin{aligned} \text{dk} & = \dfrac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{1}{n_1-1}\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}\right)^2 + \dfrac{1}{n_2-1}\left(\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2} \\ & = \dfrac{\left(\dfrac{(3,\!7918)^2}{10} + \dfrac{(5,\!1219)^2}{8}\right)^2}{\dfrac{1}{10-1}\left(\dfrac{(3,\!7918)^2}{10}\right)^2 + \dfrac{1}{8-1}\left(\dfrac{(5,\!1219)^2}{8}\right)^2} \\ & \approx 12,\!6000 \approx 12. \end{aligned}$$Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = 12$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,\!05; 12} \approx 1,\!782.$ Dari sini, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} (\overline{x}_1-\overline{x}_2)-t_{\alpha/2;~\text{dk}}\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}} & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & (\overline{x}_1-\overline{x}_2)+t_{\alpha/2;~\text{dk}}\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}} \\ (8,\!83-17,\!675)-1,\!782\sqrt{\dfrac{(3,\!7918)^2}{10} + \dfrac{(5,\!1219)^2}{8}} & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & (8,\!83-17,\!675)+1,\!782\sqrt{\dfrac{(3,\!7918)^2}{10} + \dfrac{(5,\!1219)^2}{8}} \\ -12,\!7153 & < & \mu_{X_1}-\mu_{X_2} & < & -4,\!9747. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut adalah $$-12,\!7153 < \mu_{X_1}-\mu_{X_2} < -4,\!9747.$$